共分散と分散は以下で定義する。
\gdef\Var{\mathrm{Var}} \gdef\Cov{\mathrm{Cov}} \Cov[X,Y] := E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y], \\ \Var[X] := \Cov[X,X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - E[X]^2.
$\Cov[X,Y]=0$ の時、$X$ と $Y$ は無相関であると言う。 $X$ と $Y$ が独立の時、無相関である。
E[aX+bY] &= a E[X] + b E[Y], \\ \Var[aX+bY] &= a^2 \Var[X] + b^2 \Var[Y] + 2ab \Cov[X,Y].
特に $X$ と $Y$ が無相関の場合、
\Var[aX+bY] &= a^2 \Var[X] + b^2 \Var[Y].
$X$, $Y$ が無相関の時
E[XY] &= E[X]E[Y].
$X$, $Y$ が独立変数の時
\Var[XY] &= E[X^2]E[Y^2] - E[X]^2E[Y]^2 \\ &= \Var[X]\Var[Y] + E[X]^2\Var[Y] + \Var[X]E[Y]^2.
特に $E[X]=E[Y]=0$ の時、
\Var[XY] &= \Var[X]\Var[Y].