時間順序指数関数 (time-ordered exponential) を以下の様に定義する。 $A(t)$ は行列 (線形演算子) で一般に $[A(t_1), A(t_2)] = 0$ とは限らない ($t_1 \ne t_2$)。 定義に依るが、ここでは特に積分範囲が反転している時には時間について 逆順序となるように定める事にする。
\mathrm{T}e^{\textstyle\int_{t_i}^{t_f} dt A(t)} &= \begin{cases} \sum_{k=0}^\infty \int\dots\int_{t_f \ge t_1 \ge \dots \ge t_k \ge t_i} dt_1 \dots dt_k A(t_1) \dots A(t_k), & \text{if $t_f\ge t_i$}, \\ \sum_{k=0}^\infty \int\dots\int_{t_f \le t_1 \le \dots \le t_k \le t_i} dt_1 \dots dt_k A(t_1) \dots A(t_k), & \text{if $t_f\le t_i$}. \end{cases}
特にスペクトル半径 $\rho(A(t))$ について $\int_{t_i}^{t_f} dt \rho(A(t)) < \infty$ の時、この級数は絶対収束である。
時間順序指数関数は、一般に以下の形の時間依存する線形方程式の解として現れる。
\gdef\d{\mathrm{d}} \frac{\d}{\d{t}} v = A(t) v.
解は以下で与えられる。
v(t) = \mathrm{T}e^{\textstyle\int_{t_0}^{t} dt' A(t')} v(t_0).
線形演算子 $X$ に対して他の線形演算子に作用する超演算子 $\mathrm{ad}_X \circ := [X, \circ]$.