J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, Third Edition

ゼミの記録

2026-04-16 §1.1 (9 pages)
2026-04-21 後に南部コロキウムなど入っていたので短時間のゼミとなった。 §1.1 の最後の Cs の議論の部分について議論を行った。
2026-04-28 §1.2 (6 pages)
2026-05-07 §1.3～1.7 まで。 (38 pages) 板書説明形式ではなく分からなかった所の確認 & 問答形式で行った。
2026-05-12 §2.1.1～§2.1.2 (5 pages)
2026-05-26 練習問題1.5 及び §2.1.3～§2.1.5 (4 pages)
2026-05-29 §2.1.6..§2.1.7
2026-06-09 §2.2..§2.5
2026-06-16 §2.6: Eq. (2.303) まで
2026-06-23 §2.7
2026-06-30 §3.1 から §3.3 まで
2026-07-09 §3.4 から §3.6.1 まで
2026-07-14 §3.6.2 から §3.7 まで
2026-07-21 §3.8
2026-08-04 §3.9 §3.10

1.1 Stern-Gerlach experiemnt

チェック項目を以下に残す。

Ag の電子配置はどうなっているか? 閉殻になっているという事を理解する。各軌道の縮退度。角運動量毎の遮蔽と水素原子からのエネルギー準位のずれ。
何故核子のスピンを無視することができるのか? (ヒント: 1.1 の下に比例係数が $e/mc$ と書かれている。核子は内部構造があるがオーダーとしては同じ式)
熱源から出てきた Ag は装置の空洞の中のどの部分を通過するか? 全体 or 一部? これは Eq. (1.2) で z 成分が主に効くことと関係する。
Eq. (1.2): $F_z = -\partial V(z)/\partial z$ の負号に注意。教科書は勝手に2つの負号を消している。
Eq. (1.2) 下: ", a point which"
$\mu_z > 0 (S_z < 0)$ と言っているが何故符号が違うか → 電子の電荷が $e < 0$ だから。
Fig. 1.1 で $\mu_z > 0$ なら上と言っているが、これは $\partial B_z/\partial z > 0$ という事を使う。何故か図を見て説明できるか?
「角運動量の基本単位」とは何か → \hbar のこと。\hbar の次元は角運動量・作用・位相空間の体積と同じ。元々プランク定数はプランクの式などに出てくる体積の単位だった。
Eq. (1.3): $\hbar$ は現在は定義値 (から計算される) になっている。
偏光版を通した後の光の強さはどうなるか。振幅は? エネルギーは? Ag粒子の確率振幅や数との対応はどうなっている?
1/4偏光版とは? どのように直線偏光が円偏光に変換されるか説明できるか?
$|S_y,\pm\rangle$ を $|S_x,\pm\rangle$ で書き表わすとどうなるか? ($|S_x,+\rangle$ の係数の複素位相をくくること)
$|S_z,\pm\rangle$, $|S_x,\pm\rangle$, $|S_y,\pm\rangle$ のそれぞれについて対応する電場の式は? 複素にしたらどう書ける?
S_z, S_x, S_y の演算子を作るとどのような形になるか? Pauli 行列が出てくるという事を確かめる。
133Cs の電子配置はどうなっているか? S=7/2 + 1/2 → F=4 という事? でも核磁子と電子のボーア磁子は大きさが違うのでは? 正直よく分からない。巷で不評の J. Napolitano が勝手に加筆した箇所という話を聞く。

1.2 Kets, Bras, and Operators

Eq. (1.2.3): ket を導入して、また dual と称して 1対1 に対応する bra を導入して、それから内積を導入しているが、本来は内積を先に導入してからそのカリー化として双対ベクトルを導入するのではないか。そうでなければそもそも何故 bra なるものを導入する必要性があるのかが分かりにくい。
Eq. (1.26): 交換して複素共役が出るということは複素数に対する内積の正定値性から示せるだろうか?
Eq. (1.30): ノルムが当然のごとく有界であるように書いてあるが、無限次元の時には愚直には有界とは限らないのでは。有界のものに限って話を進めるというのは仮定のはずだが、そもそも公理的に取り扱う場合には有界と仮定して良いのだろう。
Eq. (1.34) が寧ろ演算子の同一性を通して演算子とは何かについて定義していると見られる。
Eq. (1.36): そもそも演算子の加算を定義していないのに結合性や交換性を議論していて変だ。 Eq. (1.34) に従って演算子の加算を先に定義するべきである。またその時に (1.37) の様な線形性を要求する。
Eq. (1.38): 同様に bra に対する operator がどう定義されるのか示されていない。
Eq. (1.41): 演算子の積の定義が示されていない。或いは寧ろ (1.43) 左が積の定義である。
Eq. (1.46) を演算子として扱うことができる、というのはこの時点で説明ができる。とは言いつつ何故か次の Sec. の (1.48) で改めて演算子としての定義が示されている。
さて、以上の色々定義が示されていないという問題に関しては、"結合公理" ということの名のもとに正当化している。本来はこの結合公理を先に示してから一つ一つ定義を確認して矛盾がないということを demonstrate するべきの気がする。

1.3 Base Kets and Matrix Representations

a' に対応するベクトルが複数ある場合にはどうするのか? (縮退) →これは後で議論するが、この時点でその点の mention は必要では。
英語: It is difficult to overestimate the ...
Eq. (1.72): ようやく有限次元 N であることの正体を表した!
projection operators は必ずしも $|a\rangle\langle a|$ の形をしているとは限らない。それの sum である可能性もある。射影演算子の定義というか要請は? →これも後で議論が出てくるのでその時に説明すれば良い。 see comment for Eq. (1.134)
TIL: J. Schwinger が色々射影測定について調べた。Gottfried に色々書かれているそうだ。
Eq. (1.102): overall phase は無視できるという話をしているが、どうしてか?
これは最初に比例するものは同一視する & 規格化するという話をしている時に、位相の分だけ不定性が残るという点は述べられていたか? →うーん。述べられていない。述べるべきでは…。
Eq. (1.103)--(1.118) の計算を説明できるか
Eq. (1.109) 下の議論: 純粋に疑問なのだが右手系に選んだから $\delta_2 = \pi/2$ が正しいかの様に書いているが本当だろうか? 色々の定義を変えたら別に右手系だから + だとか関係ないのでは。例えば $p = \pm i\partial$ だとかの convention だとか、角運動量の定義だとかと繋がっているだけなのでは。

1.4 Compatible operators

疑問: 縮退があっても他の交換可能な観測量 B の固有値でラベル付けできる in 実際の物理。これはもし区別できる観測量が存在しなかったとしたら区別できないということに対応する? 実際にどうなのだろうか。
Eq. (1.118): 教科書はしれっと演算子 = 0 と書いているがこの意味を全く説明していない。最初の null operator というところで演算子 = 0 という記号を導入するべき。
Eq. (1.126) の様な orthonormal eigensytem を作ることができることは証明できる?
同じ固有空間のベクトルの線形結合はやはり新しい固有ベクトルになる事に注意する。それらの無限個の固有ベクトルの中から正規直交基底を選ぶ。もしくは適当に選んだ基底を線形結合を取り直して正規直交化すれば良い。
Eq. (1.129) の下に、maximal set of commuting ops を用意すれば degeneracy は必ず解消するかの如く書かれているがどういう事か? というか、数学的には無限に存在するし、一方で物理的には全部見つけたとして区別できるかは不明なのでは…。
Eq. (1.132) の c' sum の範囲は a', b' に応じて変わる etc に注意。
Eq. (1.134): これは演算子的にはどのように書けるか?
教科書はそもそも $c_{a'}^{(i)}$ がどうなるか説明していないのは不完全である。また、測定というのは一次元の射影演算子とは限らなくて有限次元の射影演算子の事もあるという話。これはまた後 [Eq. (1.181)] で有限精度の位置測定の時に積分の形になることとも対応している。

要するに

|\alpha\rangle &\stackrel{\mathrm{meas.}}{\mapsto} \Bigl[\sum_i \Lambda_{a', b^{(i)}}\Bigr]|\alpha\rangle \\ &= \sum_i | a', b^{(i)}\rangle \underbrace{\langle a', b^{(i)}|\alpha\rangle}{} \\ &= \sum_i | a', b^{(i)}\rangle c_{a'}^{(i)}.

ここで [...] の部分も射影演算子の定義 $P^2 = P$ を満たす事に注意する。
converse = 論理学の "逆" になるが、教科書で言っているのは実は「逆」ではない。この文脈だと「逆」と言えば「同時固有状態の完全系が存在しないならば演算子は非可換である」という事になるが、実際にやっていることは単なる「否定」 = 「同時固有状態の完全系が存在する」ということである。或いはここでは対偶「contrapositive」を普通に示しているだけなので背理法風味に議論を運ぶ必要もない。
英語: The converse はこの文脈ではどういう意味か? また「裏」や「対偶」などの別の英訳は?
Q: (1.139) と (1.140) の違いを説明できるか? 文では説明しているがそれを理解できているか?
Eq. (1.144) の計算を説明

1.5 Changes of Basis

疑問: (1.160) の直感的理解は? うーん。 bra-ket 記法で理解するのは実は無理があるのでは。これは表示の問題だから。
Eq. (1.178) 正に Jordan block なので対角化できないと直ちに分かる。
Eq. (1.181): U が全射であることを言っていない気がする。そうでないと等価であるとは言えない。しかし、全射であることは unitary op の性質 UU^\dag=1 から逆像が存在することより直ちに分かる。

1.6 Position, Momentum, and Translation

Eq. (1.184): normalization はこれまでとちょっと違うということに注意する。特に $\langle\xi'|\xi'\rangle$ は値として定義できず規格化可能なケットではない。というより内積が厳密には定義されていないヒルベルト空間外の基底になっている。
Eq. (1.188): 示せ。
Eq. (1.197): 上 J(-dx) typo?
Eqs. (1.197)-(1.198): これは 1.195 の表示から明らかなのでは?
Eq. (1.202) で i がつくのは何故か説明できるか?
Eq. (1.202) で +i ではなくて -i であることに必然性はあるか?
Eq. (1.203) $0[]$ ではなく $O[]$ では?
Eq. (1.220) 下 rotation が non-commute なのは何故か? 並進が commute なのは何故か?
Heisenberg 行列力学に対するコメント
Eq. (1.209) の上の文章で $\hat x_j$ が唐突に出てくるが全く説明されていない。これは学生に混乱を来すので注意する。ここでは単に3次元空間内に任意に取った正規直交基底の基底ベクトルを $\langle \hat x_1, \hat x_2, \hat x_3\rangle$ とした物であって、 $x_i := \hat \bm{x}_i\cdot \bm{x}$, $K_j := \hat \bm{x}_j\cdot\bm{K}$ などの成分を定義するのに使った物である。

1.7 Wave Functions in Position and Momentum Space

Eq. (1.238) 下で $\langle\beta|\alpha\rangle$ は自動的に出てくるなどと言っているが、結局それは x ket に対する completeness を仮定したことと対応しているから、何もないところから自明に出てきたわけではない。
平面波が出てきたのが面白いとか Fourier 変換が出てきたのがすごいとか言っているが、そもそも K を p に identify したところを誤魔化して説明しているから、読者的には元を辿れば black box から出てきているだけですごくないのでは。
p 表示の規格化には色々流儀がある事に注意する。この教科書は $\int dp |p\rangle\langle p|= 1$ だが、現代的には (高エネルギーでは?) $\int \tfrac{dp}{2\pi} |p\rangle\langle p|= 1$ の方が普通と思う。後者は $\hbar = 1$ にすると都合が良く、自然単位系を選んだ時には後者の気がする。

練習問題 1.5: "回転" ということを言わせたい。3DCG のクォータニオンとの関係。

2.1 Time Evolution and Schrodinger Equation

Eq. (2.5): 演算子で書けると言った時点で時間発展が線形であることは仮定している
Eq. (2.11): この書き方だと unitary => prob conservation は言っているが、 prob conservation => unitary は示していない。しかし実際には示せる。
Eq. (2.12) 下: 何故右から左に時間順序になっているか説明できるか?
Eq. (2.33) が解になっている事は簡単に証明できる。
Eq. (2.32) から (2.31) も簡単に形できる。
Eq. (2.32) から (2.33) は少し大変だがよく考えれば変形できる。 t の順序毎に項を分解して、更に t を時刻順にラベル付けし直せば良い。
時間順序積 or Path ordering の記号についても言及する? ホロノミー・ウィルソンライン・ループ量子重力・etc
英: a constant of motion (運動の定数) は integral of motion (運動の積分) と意味は全く同じらしい。日本語 wikipedia では運動の積分で立項しているが英語 wikipedia では constant of motion になっている。
Eq. (2.41): typo $a \to \alpha$
Eq. (2.49) 上 magnetic moment $e\hbar/2m_ec$ と呼んでいるがこれは Bohr 磁子であって磁気モーメントとは係数が違う。
Fig. 2.1: 詳細が書かれていないが、muon が decay した時にその時の spin (特定の向き S_z) を計測することができる。上向きの spin が計測されたカウントは時間発展しその周期を計測することができる。
Eq. (2.63): 3 flavor の時は 3x3 行列になる。これは (P)MNS (Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata) 行列と呼ばれる。因みに quark の似たような行列は CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) 行列でこれは小林益川のノーベル賞に関連する。
"The curve is not a perfect sine wave because the reactors are not all at the same distance from the detector." の意味がよく分からない。
Fig. 2.2: 横軸は距離ではなくて $E_\nu$ の方を変更して計測しているということに注意する。
Sec. 2.1.7: この章は論理が滅茶苦茶である。式と式が正しく繋がっていない。Napolitano が何処かの参考文献の論理を全く理解せずに転記したのではないかと疑われる。
- 先ず有限個の自由度では完全な decorrelation は発生しない (長時間経ったらまた増幅して大きくなる可能性があるということ) ということが連続自由度を考える本来の理由だが、その事を述べていない。
- TIL: 因みに有限個の自由度では decorrelation しないというのはディリクレの近似定理で、連続自由度を考えたら decorrelate するというのはリーマン・ルベーグの補題というそうだ。
- Eq. (2.69): $|_{E\simeq E_{a'}}$ という謎記号があるが、これは $E_{a'}$ 付近で何らかの意味でなめらかという事を言いたいのではないかと想像されるが、未定義の記法を用いても意味不明である。
- 最終的に雰囲気で $t\simeq \hbar/\Delta E$ を出しているが、実際にはちゃんと導出する方法は色々ある。鞍点近似で Gaussian にするのが最もよくある方法である。或いは特定の小さな区間だけ切り取って矩形の分布にして $sin x/x$ の形にする。というか Eq. (2.71) (normalization condition) は全く使われていないが、本来これは鞍点近似で使うために言及されるものなのでは…。
- "we see that as $t$ becomes large, the integrand oscillates very rapidly unless the energy interval $|E-E_0|$ is small compared with $\hbar/t$. If the interval for which $|E-E_0| \simeq \hbar/t$ holds is much narrower than $\Delta E$, the width of $|g(E)|^2\rho(E)$, we get essentially no contribution to $C(t)$ because of strong cancellations." この説明はぐだぐだであるし言葉が余り正確でない。もっと分かりやすく書くならば、 "$|E-E_0| > \hbar/t$ の領域でキャンセルが起きる。$|E-E_0| < \hbar/t$ でしか寄与が残らないがこの領域の幅 $\hbar/t$ が $\Delta E$ よりもずっと小さい時は $C(t)$ に対する寄与は実質無視できる。" ということ。

2.2 Heisenberg picture

Eq. (2.77) で変換の下で operator は不変と言っているが、基底変換としては op も変化しなければならないのでは。状態に対する物理的な変換に対しては op は不変というべきの気がする。
Eq. (2.82) を示せ
これがエーレンフェストの定理。よくどれがエーレンフェストの定理か分からなくなる…。自分が混乱するのはペロン・フロベニウスの定理である。何故混乱するのかは謎。

2.3 Harmonic Oscillator

Eq. (2.134): $n-1$ で縮退がないという事は示さないと行けないはず。綺麗に示す方法はあるか?
Eq. (2.161): 示せ
Eq. (2.168) は Baker-Hausdorff lemma という名前。excercise にもなっている。
Eq. (2.173): coherent state に関する性質を Excercise 2.21 で。 Excercise 2.21 a では与えられたケットが coherent state である事を示す問題だが、 $\lambda$ を固有値とする coherent state が一意であることの証明は要求していない。しかし、実際には簡単である。単に完全基底 $\sum_n |n\rangle\langle n|=1$ を用いて $|\lambda\rangle = \sum_n f_n |n\rangle$ を用いて条件を出すと $f_n = (\lambda^n/\sqrt{n!}) f_0$ が出せて $f_0$ が規格化から複素位相を除いて一意に定まる。

2.4 Schrodinger's Wave Equation

2.4.1: H = p^2/2m + V の形にして Schrodinger を出している。2.4.2: time-independent version もだしている。それからエネルギーが負の状態 (無限遠でのポテンシャル V = 0 を基準とする) として束縛状態を定義している。束縛状態は離散になり遠方まで行く状態は連続状態になる。行列力学との関係。Scrhodinger は Hamilton-Jacobi の見方を元に独立に Schrodinger eq を作り上げ、後に等価性が証明された。2.4.3: 確率流の満たす方程式。
sinusoidal = 正弦波
Eq. (2.192): 別に積分しなくても $\bm{j} = \frac1m\Re[\psi^* \hat{\bm{p}} \psi]$ ということが示せるのでは…。
Eq. (2.199): 因みに phase に対する時間発展を求めると完全流体っぽくなっている。超流動との関係。
Hamilton-Jacobi の方程式について説明できるか?
この辺は記憶がないがいつか復習・確認するべきの気がする。 Hamilton's characteristic function (Goldstein et al. (2002), pp. 440-444)

2.5 Elementary solutions to Schrodinger's Wave Equation

2.5.1: 平面波解と box regularization. DoS (density of state) の計算。2.5.2: 調和振動子。空間表示。エルミート多項式を母関数の表式から始めて導入している。H の recurrence formula や微分式を出して、それが Schrodinger eq for h(x) と一致していることを示している。2.5.3: Linear potential の時には Airy eq になる。これの解は Fourier 変換で与えられる。 2.5.4 WKB 近似について。tunneling についてではなくて変な形の井戸に閉じ込められた粒子の話をしている。量子化条件を出してこれからエネルギー準位の近似値が出せることを述べている。classical limit との関係。 Eq. (2.264) で換算 de Broglie 波長と比べて何か言っているがよく分からない。
2.223 の式の書き方はよくないのではないか。単に $H_{2m}$ の性質として導出すればよかっただけでは。
何故、V が even だと固有状態が odd / even になると言えるのか説明できるか?
2.237: これは Fourier 表示で解ける。 $u = \int \frac{dk}{2\pi}\tilde u(k) e^{ikx}$ を代入すれば $\tilde u$ が定まる。
更に 2.251 の表式も鞍点法によって求めることができる。
V(x) が x に対して slowly に変化すると言っている時には、具体的には $\hbar \partial_x \ll W$ みたいな条件を課している (でも W 自体 \hbar の order である)? これはオーダー評価を丁寧にすれば分かるはず。
Eq. (2.254): これは知らなかった。つまり両側が囲まれている領域の $\int k(x)dx = (n+1/2)\hbar$ になるということ。

2.6 Propagators and Feynman integrals

Eq. (2.273) の上で $t > t_0$ の時は、と書いているが、別に $t < t_0$ でも成立するのでは。 Eq. (2.277) の K は 2.273 の K とは違うのでは。これは $\theta(t-t_0)$ が入っているのでは。
Eq. (2.282): これで $t\to t_0$ もしくは $t-t_0 = 2\pi/\omega$ の時に本当にdelta関数に戻るのかというのは式の見た目からは非自明では。どうやって示すのか。
Eq. (2.284) の様な形で trace を取ったら時間発展演算子の trace が出てくる。当たり前といえば当たり前だが余り意識したことのない式である。と思ったが、これはどうも分配関数 Z の虚時間形式に繋げるための議論だった。
Eq. (2.289) spectral function. スペクトル関数。物理数学でクラマース・クロニッヒの関係や、主値積分と $i\epsilon$ 処方などの関係や、 Fourier-Laplace transform 等をやっている可能性はある。
Eq. (2.303) 付近。例のごとく位相がものすごく振動するから打ち消す。これをちゃんと数学的に示すにはどうしたら良いのか? 一つの方法は $|A| = |\int_{-R}^R dx e^{i [S_0 + S_0^{(1)} x]/\hbar}| < 2\hbar/S_0^{(1)} \to 0$ と述べること。でも2次以降の効果がどのように入るかについては本当は慎重に吟味する必要がある。或いはこれもまた鞍点近似の文脈で説明することができる。
2.6.4 は何だか泥臭い計算というか試してみたら合ってるでしょみたいな議論の進め方で余り面白いことも何もない。
Eq. (2.309b) これは積分核としての delta function への収束であって、実際には limit を取っても $\xi\neq 0$ で 0 になるわけではない。

2.7 Potentials and Gauge transformations

2.7.1 エネルギー基準点の変更は基底の位相の変更。2つの経路で異なる一様電場をかけると、粒子は力を受けていないのにも拘らず、干渉が発生する。 2.7.2 重力ポテンシャルによる干渉が中性子のマクロな設定で見えるという話。この教科書がよいのは実際に量子力学が見える状況というのが色々例示されていること。2.7.3 canonical momentum は gauge dependent quantity である。 kinematical momentum が gauge independent. Guage 変換は波動関数の位相因子を変えるはたらきを持っている。2.7.4 Aharonov-Bohm effect
kinetic momentum は kinematical momentum とも mechanical momentum とも言う。名前がたくさんある。
Eq. (2.338) を示せると教科書は言っている。
gauge invariance はドイツ語 Eichinvarianz の訳らしい。
Eq. (2.378) の説明は分かっていればこういうことを言いたいのだろうと推測されるが、説明として全然駄目の気がする。
Sec. 2.7.2 の最後から二番目の段落で 90 度 \delta を動かすということを書いているが、嘘である。 PRL 34, 1472 の論文の図を見ると、実際には -30 度から 30 度まで 60 度動かして、 \sin\delta が -1/2 から 1/2 まで 1 だけ変化する様な設定になっている。
innocuous: (生物・薬学的に) 無害な

3.4

§3.4.1 余り確率的な側面を強調していなくて、謎の「phase で linear superposition をするわけではない別の種類の混ざり方 (population w_i)」みたいな説明をしていてよくない気がする。と思ったが population というのは用意した原子たちの中の population という意味の様である。統計力学的な重ね合わせであるという導入もしくは、partial trace による導入の仕方でもいいが、そういう風に導入しないと自然に必要だということが分からないのではないか。或いは、必然性を示さなくても点から振ってきたものを受け入れろという立場なのかもしれないが。
量子力学的な確率と統計力学的な確率の混同が混乱を来すと思って、統計力学的なものの方を確率と呼ぶのをさけているのかもしれないが、それは寧ろ混乱の下の気がする。寧ろ、統計力学的な確率の方が確率として振る舞っていて、量子力学的な確率の方が天から振ってくるような説明しかできないのだから。
後、男と女の重ね合わせはないとか言っているが本当だろうか? 量子力学的にはあって良いはずである。ただ干渉の振幅は無視できるぐらいに抑えられるが。
1/2 で + - を足したものが基底(SG apparatus)を回転しても特定の向きを持たないものであるということを示す。
Eq. (3.116) とは別の組み合わせで同じ density operator を再現する方法があることを示す。
Eq. (3.122): Poisson 括弧の話はどこかで出ていたか?
Eq. (3.125) 下の段落: 現実的なビームの状態は plane wave の統計和でも表せるし wave packets の統計和でも表せると書いている。本当か? "現実的なビーム" と言ったらそうなっていそうだが、一方で plane wave の和と wave packets の和を数学的に変換できるだろうか。基本的に Fourier 変換で対角性を保つことができれば良いことになる? うーん。基本的に単に "完全系 = 1" を使うだけの気がする。なので OK。というかそもそも 3.112 および 3.113 の議論もわざわざ具体的に
Eq. (3.133) 下: von Neumann entropy という名前は出しておくべきの気がする。加法性を満たすということなどから log が出てくるなど、情報で習いそうなことも述べても良い。
この教科書は w_i が 0 以上 1 以下であるということを言っていない。
この教科書は純粋アンサンブルなら \rho^2 = \rho は言っているが、それの逆は言っていない。
純粋状態なら tr(\rho^2) = 1 は言っているが、その逆は言っていない。
3.109 の議論はそもそも分解して書かなくても $|\alpha\rangle$ が成分表示で列ベクトルになるし、$\langle \alpha|$ が成分表示で行ベクトルになるということを考えたら自明である。
3.123 で A の引数は書いているのに \rho の引数を書いていないのは、良くないことの気がする。
この教科書は von-Neumann Liouville 方程式について、"Heisenberg 方程式の符号が違ったもの" としか言っていない。Heisenberg という名前をだすのだったら、正しい名前を出すべきではないか? 因みに、entropy が von-Neumann entropy というのも言っていない。
Eq. (3.141) は \beta = 0 にしたら出すことができる。もっと厳密に言うと、ミクロカノニカルは $\langle E_i |\rho| E_i\rangle = 0$ ($E_i \not\in [U - \epsilon, U + \epsilon]$) みたいな条件があるが、今は \rho を決定するために議論しているのであって、範囲外の $E_i$ に対応する固有値は、この条件から直ちに決まるので、未知の部分 ($E_i \sim U$ の部分空間での固有値) についてだけ考えれば良い。この範囲で考えている限りは追加の Lagrange multiplier などは必要ない。
因みにこの教科書では「物理量 A が a_i を取る確率」が密度演算子を用いて $\langle a_i | \rho | a_i\rangle$ で書かれることも、或いはもっと前の方で「物理量 A が a_i を取る確率」に対応する演算子が射影演算子 $|a_i\rangle\langle a_i|$ であることも書かれていない。

3.6 Orbital angular momentum

$L = x\times p$ で良いのは何故か。エルミートにちゃんとなっているか? (交換しない成分 x_i p_i は消える)
Eq. (3.258): 何故他の l' の寄与が消えるのか説明できるか。 →これは 3.194 から。J では l の外にはみ出ない。
$|\hat z\rangle$ は m=0 の固有状態だから $|l,0\rangle$ の線形結合で書ける。
Eq. (3.262) の $d$ は $\usepackage{mathrsfs}\mathscr{D}$ では。と思ったが既に 3.209 でも出てきているし、\theta 回転しかしない場合は d を使う事にしているのだろう。
球面調和関数は SO(3)の l 表現の回転行列の成分でもある。
§3.6.3 これだと rotation matrix の $\mathscr{D}^{(l)}_{m0}$ 成分しか分からないのでは。その他の成分はどうなっているのか?

3.7 Schroedinger's equation for central potentials

3.264 だと r が交換可能なのは説明できるか?
Prob 3.27 で u \sim B/r^l がないとされる理由が干渉項が確率保存を破るからということが示されるそうだ。 → と思って 3.27 を見たが、A, B で相対位相がある場合には 0 で flux があると言っている。それだと相対位相がない場合は否定できないのでは…。
3.289 下 "except for any accidental equality between zeros" と言っているが、実際に共有されている zero は存在しているのだろうか?

3.8 角運動量の合成

Eq. (3.321) \otimes の意味を説明していなくていきなり出している。
Eq. (3.324): L と S が交換するのは 3.323 の構造から。
Eq, (3,384): spin-angular function という名前
Eq. (3.385): J^2 の固有関数であることを確認するには 3.349 を使うのが便利。
Eq. (3.390): 間違いとは言い切れないが、 $\mathscr{D}(R) := (3.388)$ の様に定義して。右辺第一行の $\mathscr{D}(R)$ はそれぞれ $\mathscr{D}^{j_1}(R)$ $\mathscr{D}^{(j_2)}(R)$ の様に書いた方が分かりやすいのでは。

3.9

3.403 の上: we prove (3.402b)
Eq. (3.405): j=N/2 であることを思えば、 $J^2 = \hbar^2 (N/2)(N/2+1)$ と書いた方が対応がつけやすい。
Eq. (3.426) 式: 既に $d^{(j)}_{00}$ の場合は Eq. (3.262) で $P_j(z)$ になると分かっている。今回求めた式が前回の結果と consistent であることは Eq. (3.426) に $m=m'=0$ を代入すれば、 $P_l$ の知られた公式(★)に一致する。一方で、$P_l(z)$ のロドリゲスの公式を Eq. (3.246) から読み取ることができて、 $P_z(z) = \frac{(-1)^l}{2^l l!}(d/dz)^l(1-z^2)^l = \frac1{2^ll!}(d/dz)^2[(z+1)^l(z-1)^l]$ となる。これを Leibnitz の公式で分解すると上記の★の式が得られる。